Παρουσίαση/Προβολή

ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ
(CE0410) - ΠΑΝΑΓΙΩΤΗΣ ΜΑΚΡΥΓΙΑΝΝΗΣ
Περιγραφή Μαθήματος
Εισαγωγή στην έννοια της Αριθμητικής Ανάλυσης
Η μελέτη, η κατανόηση, η επίλυση και η ερμηνεία πολλών επιστημονικών-τεχνολογικών προβλημάτων αλλά και φυσικών φαινόμενων, στηρίζεται σε θεωρίες που θεμελιώνονται µε την εξέλιξη της κάθε επιστήμης που τα μελετά. Τα μαθηματικά εργαλεία (πχ. εξισώσεις, πίνακες) και η κατάλληλη θεωρία που συνδέεται µε το όποιο πρόβλημα, αποτελούν και το μαθηματικό μοντέλο που το περιγράφει. Όμως, μόνο ένα μέρος των μαθηματικών προβλημάτων μπορούν να επιλυθούν αναλυτικά, δηλαδή να βρεθούν ακριβείς μαθηματικές εκφράσεις των λύσεών τους. Ενδεικτικά να αναφέρουμε τις υπερβατικές εξισώσεις ή τις πολυωνυμικές εξισώσεις μεγαλου βαθμου οπου ο προσδιορισμός των ριζών είναι πολύπλοκος αν όχι αδύνατος.
Σε αυτό το εξάμηνο σπουδών θα επιχειρήσουμε να περιγράψουμε μεθόδους που επιτρέπουν να υπολογίσουμε τη λύση των προβλημάτων που τίθενται, με τρόπο προσεγγιστικό, αλλά και με την επιδιωκόμενη ακρίβεια κάθε φορά. Είναι η Αριθμητική Ανάλυση, που αν και ασχολείται με προβλήματα που διαπραγματεύεται και ο Διαφορικός και Ολοκληρωτικός Λογισμός προσπαθεί να τα επιλύσει και να δώσει λύσεις και συγκεκριμένα αποτελέσματα εκεί όπου η Μαθηματική Ανάλυση δεν μπορεί.
Στην προσπάθεια επίλυσης τέτοιων προβλημάτων αναπτύχθηκαν διάφορες μέθοδοι προσέγγισης, οι οποίες εισάγουν λιγότερο ή περισσότερο σφάλμα στον υπολογισμό. Η βασική αρχή πάνω στην οποία στηρίζεται κάθε τέτοια προσέγγιση είναι η διακριτοποίηση των συνεχών ποσοτήτων του πραγματικού κόσμου σε στοιχειώδη τμήματα (σύνολα διακεκριμένων τιμών)
Μέρος των προσεγγιστικών μεθόδων και των αντίστοιχων αλγορίθμων (αλγόριθμος: ένα σύνολο διαδικασιών και διεργασιών, λογικά ορισμένων, σε λογική σειρά, οι οποίες χρησιμοποιούνται για την επίλυση ενός προβλήματος) είχαν χρησιμοποιηθεί ήδη από την αρχαιότητα. Χαρακτηριστικές είναι οι περιπτώσεις του Αρχιμήδη (220 π.Χ.) ο οποίος υπολόγισε την τιµή του άρρητου αριθμού π, µε ικανοποιητική ακρίβεια και του Ήρωνα (100 π.Χ.) ο οποίος έδωσε έναν επαναληπτικό τύπο, για την εύρεση της τετραγωνικής ρίζας ενος πραγματικού αριθμού, ο οποίος αποτελεί μερική περίπτωση της μεθόδου Newton-Raphson που προτάθηκε ύστερα από 18 αιώνες (την οποία κ θα μελετήσουμε κατά τη διάρκεια)
Στις μέρες μας η πολυπλοκότητα των επιτευγμάτων, των αναγκών και της ίδιας της «σκέψης» μας, ως ανθρώπινο είδος οδήγησε από τα μέσα του 20ού αιώνα στην εξέλιξη των ηλεκτρονικών υπολογιστών, όπου παλιές και νέες προσεγγιστικές μέθοδοι βρήκαν γόνιμο έδαφος αλγοριθμικής εξέλιξης/εφαρμογής και υπερκέρασαν το εμπόδιο του τεράστιου πλήθους υπολογισμών κερδίζοντας επιπλέον σε ταχύτητα και ακρίβεια. Για τους παραπάνω λόγους οι περισσότερες εκ των μεθόδων που θα διερευνηθούν στα πλαίσια αυτών των σημειώσεων προσαρμόστηκαν σε ηλεκτρονικό υπολογιστή χρησιμοποιώντας το προγραμματιστικό περιβάλλον του MatLab.
Θεματικές Ενότητες
1 |
Αριθμητική Επίλυση Γραμμικών Συστημάτων |
Γενική επαναληπτική μέθοδος, Μέθοδος Jacobi, Μέθοδος Gauss-Seidel |
2 |
Αριθμητική Επίλυση μη Γραμμικών Εξισώσεων και Συστημάτων |
Εντοπισμός ριζών, Μέθοδος της διχοτόμησης, Γενική επαναληπτική μέθοδος, Μέθοδος Newton-Raphson, Μέθοδος της τέμνουσας, Μέθοδος Newton-Raphson για μη γραμμικά συστήματα |
3 |
Παρεμβολή |
Πολυώνυμο παρεμβολής Lagrange, Πολυώνυμο παρεμβολής Newton, |
4 |
Προσέγγιση (Μέθοδος Ελαχίστων Τετραγώνων) |
Προσέγγιση: Γραμμική, Εκθετική, Πολυωνυμική |
5 |
Αριθμητική Ολοκλήρωση |
Κανόνας: Ορθογωνίου, Τραπέζιου, Simpson |
6 |
Αριθμητική Επίλυση Διαφορικών Εξισώσεων |
Μέθοδοι Euler και Runge-Kutta |
(7) |
Γενικές αρχές προγραμματισμού σε περιβάλλον MatLab |
Κώδικες/Εφαρμογές |
ΣΥΝΙΣΤΩΜΕΝΗ ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ
1. ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ , Αλεξανδροπουλος Αντωνιος, Βρυζιδης Λαζαρος, ΣΥΓΧΡΟΝΗ ΕΚΔΟΤΙΚΗ
2. ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ , Πιτσουλης Λ.,ΕΚΔΟΣΕΙΣ ΤΖΙΟΛΑ
3. ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ , Scheid F., ΕΚΔΟΣΕΙΣ ΤΖΙΟΛΑ
4. ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗ ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ ,Ραπτης Αριστοτελης, Open Line/ Μασκλαβουνος Θεοδωρος
Υπόδειξη: Οι φοιτήτριες/τες καλούνται να υλοποιήσουν αριθμητικές μεθόδους στον υπολογιστή. Σε κάθε περίπτωση η πρόσβαση/κατοχή μαθηματικής αριθμομηχανής (χειρός) είναι επιβεβλημένη.
Ημερομηνία δημιουργίας
Σάββατο 21 Μαρτίου 2020
-
Δεν υπάρχει περίγραμμα