Παρουσίαση/Προβολή
1001 - ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ
(1001) - ΒΑΣΙΛΕΙΟΣ ΠΑΠΑΔΑΚΗΣ, ΕΥΑΓΓΕΛΟΣ ΜΕΛΑΣ, ΓΕΩΡΓΙΟΣ ΠΑΠΑΓΕΩΡΓΙΟΥ
Περιγραφή Μαθήματος
Το μάθημα καλύπτει τη κλασσική ύλη ενός μαθήματος γραμμικής άλγεβρας.
Ξεκινά με την παρουσίαση των διανυσμάτων, τους πίνακες και τις πράξεις τους, και συνεχίζει συζητώντας την επίλυση γραμμικών συστημάτων και εισάγει τη χρήση πινάκων ως αποτελεσματικό εργαλείο.
Συνέχεια έχει η έννοια του διανυσματικού χώρου. Ακολουθεί η έννοια της διαστασης, των γραμμικών συναρτήσεων ανάμεσα στους διανυσματικούς χώρους, οι ιδιοτιμές, τα ιδιοδιανύσματ και τα σχετικά θεωρήματα. Συζητούνται επίσης τα εσωτερικά γινόμενα και το φασματικό θεωρήμα και το αντιστροφό του για τη ορθογωνοποίηση των πινάκων.
Το μάθημα θα προσπαθήσει να χρησιμοποιήσει το Matlab ως εργαλείο επίλυσης προβλημάτων της γραμμικής άλγεβρας με τη σταδιακή εκμάθηση του ανά ενότητα.
Ημερομηνία δημιουργίας
Σάββατο 26 Αυγούστου 2023
-
Διδάσκοντες
Δρ. Παπαδάκης Βασίλειος
Περιεχόμενο μαθήματος
- Διάνυσμα. Γεωμετρικό διάνυσμα.. Δισδιάστατο σύστημα συντεταγμένων (κέντρο, σημείο στο σύστημα). Δισδιάστατο διάνυσμα σε πίνακα δύο στοιχείων. Τρισδιάστατο διάνυσμα σε πίνακα τριών στοιχείων.
- Άλγεβρα πινάκων. Ανάστροφος πίνακας. Τετραγωνικοί πίνακες. Αντίστροφος πίνακας. Διαγώνιοι πίνακες. Συμμετρικοί/αντισυμμετρικοί πίνακες. Ορθογώνιοι πίνακες. Σύνθετοι πίνακες. Ομοιότητα πινάκων. Ίχνος πίνακα.
- Συστήματα γραμμικών εξισώσεων. Απαλοιφή Gauss‐Jordan. Ανηγμένη κλιμακωτή μορφή πίνακα. Παραγοντοποίηση LU. Βαθμός πίνακα. Υπολογισμός αντιστρόφου με απαλοιφή Gauss‐Jordan.
- Ορίζουσα πίνακα. Ορισμός. Ιδιότητες. Θεώρημα Cramer. Προσαρτημένος (adjoint) πίνακας. Συστήματα Cramer.
- Διανυσματικοί χώροι. Διανυσματικοί υπόχωροι. Ο χώρος ℝ2. Γραμμική θήκη. Γραμμική εξάρτηση. Βάση και διάσταση διανυσματικού χώρου. Αθροίσματα και τομές υπόχωρων. Ευθύ άθροισμα υπόχωρων. Θεώρημα διάστασης. Βασικοί υπόχωροι πίνακα (χώρος στηλών, χώρος γραμμών, μηδενοχώρος και αριστερός μηδενοχώρος). Διανυσματικοί χώροι με εσωτερικό γινόμενο. Ορθοκανονικές βάσεις.
- Χαρακτηριστικά ποσά πίνακα. Ιδιοτιμές. Ιδιοδιανύσματα. Πολυωνυμικοί πίνακες. Διαγωνοποίηση πινάκων. Θεωρημα Cayley‐Hamilton. Ελάχιστο πολυώνυμο.
- Αναλυτική γεωμετρία. Διανυσματικός λογισμός (εσωτερικό, εξωτερικό, μεικτό γινόμενο διανσυμάτων και εφαρμογές). Ευθεία στο χώρο. Επίπεδο. Σφαίρα.
- Χρήση Matlab για εφαρμογές. Διαχείριση πινάκων και διανυσμάτων στο Matlab. Αριθμητικές (άμεσες και επαναληπτικές) μέθοδοι για επίλυση γραμμικών συστημάτων. Υπολογισμός νόρμας διανύσματος και νόρμας πίνακα. QR παραγοντοποίση πίνακα, ιδιάζουσα παραγοντοποίηση πίνακα (SVD) και προβολές. Πίνακες και ελάχιστα τετράγωνα. Παλινδρόμιση. Εκτίμηση δείκτη κατάστασης πίνακα. Επαναληπτικές μέθοδοι για υπολογισμό ιδιοτιμών πίνακα.
Μέθοδοι αξιολόγησης
- 13 διαλέξεις ΜΗ υποχρεωτικής παρακολούθησης
- Ασκήσεις (Παρασκευή 09:00 – 11:00, αμφιθέατρο Χατζηνικολάου)
- Θεωρία (Παρασκευή 11:00 – 13:00, αμφιθέατρο Χατζηνικολάου)
- Χρήση Matlab συμπεριλαμβανομένων και των σχετικών παραδειγμάτων
- Κατεβάστε, και Διαβάστε το Matlab!
- Δεν θα έχουμε τελική ΓΡΑΠΤΗ εξέταση!
- Θα δοθούν 2 Πρόοδοι μέσω eclass σε μορφή πολλαπλών επιλογών με ΑΡΝΗΤΙΚΗ βαθμολόγηση!
- Μιά πρόοδος στη μέση της χρονιάς και άλλη μια στο τέλος (Υποχρεωτική)!
- Οι δύο πρόοδοι θα αποτελέσουν και το 100% του τελικού βαθμού.