Παρουσίαση/Προβολή

Εικόνα επιλογής

Αριθμητική Ανάλυση

(ΝΑΟΜΕ1114) -  ΔΗΜΗΤΡΙΟΣ ΜΗΤΣΟΥΔΗΣ

Περιγραφή Μαθήματος

Οι προσομοιώσεις στον υπολογιστή χρησιμοποιούνται πλέον ευρέως σε διάφορους επιστημονικούς τομείς ως ένα πολύτιμο εργαλείο για την ανάλυση, σχεδιασμό και οπτικοποίηση συστημάτων. Πολύπλοκα μαθηματικά μοντέλα είναι σε θέση να δώσουν ακριβείς προβλέψεις και εκτιμήσεις σε πραγματικά προβλήματα, αλλά συνήθως στην πράξη  τα μοντέλα αυτά δεν μπορούν να επιλυθούν αναλυτικά, παρά μόνον προσεγγιστικά με τη βοήθεια του υπολογιστή. 

Περιεχόμενο μαθήματος

 Η ύλη που καλύπτεται στο μάθημα περιλαμβάνει τις ακόλουθες ενότητες:

  1. Αριθμητική στον υπολογιστή
    • Συστήματα αρίθμησης, αριθμοί κινητής υποδιαστολής-αριθμοί μηχανής, επιρροή των σφαλμάτων στρογγύλευσης στους υπολογισμούς, ευστάθεια αλγορίθμων.
  2. Αριθμητική λύση μη γραμμικών εξισώσεων
    • Μέθοδοι: διχοτόμησης, Νεύτωνα και τέμνουσας. Επαναληπτικές μέθοδοι.
  3. Αριθμητική λύση γραμμικών συστημάτων.
    • Άμεσες μέθοδοι επίλυσης γραμμικών συστημάτων: Απαλοιφή Gauss, ανάλυση LU, ανάλυση Cholesky.
    • Νόρμες διανυσμάτων και πινάκων, δείκτης κατάστασης ενός γραμμικού συστήματος, εισαγωγή στην ευστάθεια γραμμικών συστημάτων.
    • Επαναληπτικές μέθοδοι: Μέθοδοι των Jacobi, Gauss-Seidel και SOR. Σύγκλιση των μεθόδων.
  4. Πολυωνυμική παρεμβολή.
    • Σχετικοί ορισμοί και θεωρήματα.
    • Θεώρημα παρεμβολής του Lagrange.
    • Διαιρεμένες διαφορές. Τύπος παρεμβολής του Newton.
    • Παρεμβολή με splines.
  5. Προσέγγιση ελάχιστων τετραγώνων
    • Εισαγωγικές έννοιες. Προσέγγιση με πολυώνυμο 1ου και γενικά ν-βαθμού. Σύστημα κανονικών εξισώσεων.
  6. Προσέγγιση παραγώγων και ολοκληρωμάτων
    • Προσέγγιση παραγώγων συναρτήσεων μιας και περισσότερων μεταβλητών με τον τύπο του Taylor. Συνοριακές συνθήκες Dirichlet, Neumann και Robin.
    • Προσέγγιση ολοκληρωμάτων: απλοί και σύνθετοι κανόνες τραπεζίου, Simpson και 3/8 του Simpson.
  7. Αριθμητική λύση Συνήθων Διαφορικών Εξισώσεων
    • Σχετικοί ορισμοί και θεωρήματα. Πρόβλημα αρχικών τιμών.
    • Μέθοδοι των: Euler, Taylor και Runge-Kutta 3ης και 4ης τάξης.
    • Αριθμητική λύση συστημάτων Συνήθων Διαφορικών Εξισώσεων

Ημερομηνία δημιουργίας

Δευτέρα 15 Οκτωβρίου 2018

Σελίδα μαθήματος
  • Περίγραμμα

    Μαθησιακοί στόχοι

    Με την επιτυχή ολοκλήρωση του μαθήματος ο φοιτητής θα:

    • έχει εξοικειωθεί με βασικές έννοιες και τεχνικές της Αριθμητικής Ανάλυσης
    • χρησιμοποιεί αριθμητικές μεθόδους για τον υπολογισμό ριζών μη γραμμικών εξισώσεων, λύσεων μεγάλων γραμμικών συστημάτων, ολοκληρωμάτων, και λύσεων προβλημάτων αρχικών τιμών για συνήθεις διαφορικές εξισώσεις
    • είναι σε θέση στη συνέχεια να σχεδιάζει, αναλύει και υλοποιεί αποτελεσματικούς αλγορίθμους για την επίλυση προβλημάτων της ειδικότητάς του
    • αξιολογεί και συγκρίνει αριθμητικούς αλγορίθμους ως προς την αξιοπιστία και αποτελεσματικότητα τους
    • υλοποιεί αριθμητικούς αλγορίθμους σε MATLAB.

    Βιβλιογραφία

    1. Γ. Ακρίβης, Β. Δουγαλής, Εισαγωγή στην Αριθμητική Ανάλυση, (4η έκδοση), Πανεπιστημιακές Εκδόσεις Κρήτης, 2015.
    2. R.L. Burden, J.L. Faires, Numerical Analysis, 9th ed., Brooks/Cole, 2011.
    3. W. Cheney, D. Kincaid, Numerical Mathematics and Computing, 6th ed., Brooks/Cole, 2008.
    4. G. Dahlquist, Å. Björk, Numerical Methods, Prentice-Hall, 1974.
    5. G.E. Forsythe, M.A. Malcolm, C.B. Moler, Computer Methods for Mathematical Computations, Prentice-Hall, 1977. (Ελληνική μετάφραση: Αριθμητικές Μέθοδοι και Προγράμματα για Μαθηματικούς Υπολογισμούς,  (Μτφρ. Γ.Δ. Ακρίβης, Β.Α. Δουγαλής), γ΄ έκδοση, Πανεπιστημιακές Εκδόσεις Κρήτης, Ηράκλειο, 1998.)
    6. D.J. Higham, N.J. Higham, MATLAB Guide, 2nd ed., SIAM, 2005.
    7. C.B. Moler, Numerical Computing with Matlab, SIAM 2004. (Ελληνική μετάφραση: Αριθμητικές μέθοδοι με το MATLAB, (Μτφρ. Β. Μεταφτσής), Κλειδάριθμος, 2010.)
    8. E. Süli, D. Mayers, An Introduction to Numerical Analysis, Cambridge University Press, 2006.

    Περισσότερα

    Περίγραμμα μαθήματος